Volatilitet og gjennomsnitt: samme forventning, ulike utslag

To poengspill med helt åpne regler

Vi bruker en tenkt, rettferdig mynt: Kron og mynt har hver 50 prosent sannsynlighet, og kastene er uavhengige. Det betyr at tidligere kast ikke påvirker sannsynligheten i neste kast. Poengene er bare en regneøvelse, uten innsats, premier eller pengeverdi.

Legg merke til at begge spillene gir positive poeng like ofte. Større variasjon trenger altså ikke bety sjeldnere positive utfall. I dette eksempelet skyldes forskjellen bare størrelsen på poengendringen.

Forventning: et sannsynlighetsvektet gjennomsnitt

Forventningen finner vi ved å gange hvert mulig resultat med sannsynligheten for resultatet og legge sammen:

• Spill A: 0,5 × 1 + 0,5 × (−1) = 0.
• Spill B: 0,5 × 10 + 0,5 × (−10) = 0.

Null er ikke et løfte om at poengsummen blir null etter åtte, hundre eller tusen kast. Det er det teoretiske gjennomsnittet i modellen, ikke en fasit for en enkelt rekke.

Varians: hvor langt resultatene ligger fra forventningen

Varians er det sannsynlighetsvektede gjennomsnittet av de kvadrerte avstandene fra forventningen. Her er forventningen null, så beregningen blir enkel:

• Spill A: 0,5 × 1² + 0,5 × (−1)² = 1.
• Spill B: 0,5 × 10² + 0,5 × (−10)² = 100.

Når alle poengendringene blir ti ganger større, blir variansen hundre ganger større. Standardavviket, som er kvadratroten av variansen, blir derimot ti ganger større. Derfor må vi si hvilket mål vi bruker når vi sammenligner «svingninger».

En kort rekke kan ende langt fra forventningen

Ta denne konstruerte rekken på åtte kast: kron, kron, mynt, kron, mynt, mynt, kron, kron. Den inneholder fem kron og tre mynt.

• I spill A blir sluttresultatet 5 × 1 − 3 × 1 = +2 poeng.
• I spill B blir sluttresultatet 5 × 10 − 3 × 10 = +20 poeng.

Dette er et illustrerende eksempel, ikke et testresultat eller en typisk rekke. Gjennomsnittet i akkurat denne rekken er 0,25 poeng per kast i A og 2,5 i B. Begge avviker fra den teoretiske forventningen på null.

For uavhengige kast er variansen til gjennomsnittet lik variansen per kast delt på antall kast. Etter 100 kast har gjennomsnittet derfor standardavvik 0,1 poeng i A og 1 poeng i B. Det beskriver spredningen mellom mulige rekker, ikke en garantert grense. En rekke med minuspoeng gjør heller ikke plusspoeng mer sannsynlige i neste kast.

Hva dette betyr når temaet er RTP

I pengespill er RTP et mål på tilbakebetaling i forhold til innsats, ikke det samme som forventet nettopoeng i øvelsen vår. Gambling Commission forklarer i sin veiledning om tilbakebetaling fra spilleautomater at RTP ikke beskriver hva en enkelt spiller får tilbake i én spilleøkt.

Som supplerende illustrasjon bruker forklaringen av forskjellen mellom volatilitet og RTP spilleautomater som eksempel. Den bør leses sammen med Gambling Commissions veiledning om beregning av RTP, som viser hvordan variasjon påvirker målt tilbakebetaling. Gjennomsnitt og spredning beskriver forskjellige sider av resultatene.

Oppgitte RTP-tall og volatilitetsetiketter for kommersielle spill er ikke verifisert her. Slike produsentopplysninger beskriver teoretiske egenskaper og er ingen garanti for resultatet ditt. Poengspillene over er heller ikke modeller av en bestemt spilleautomat.

Prøv forskjellen på en spillkveld

1. Lag to kolonner på et ark, én for A og én for B. Begge starter på null.
2. Kast en mynt 20 ganger. Bruk samme kast i begge kolonnene, slik at bare poengstørrelsen varierer.
3. Gi A +1 ved kron og −1 ved mynt. Gi B henholdsvis +10 og −10.
4. Noter løpende totalsum etter hvert kast. Negative poengsummer er tillatt.
5. Del sluttresultatet på 20 for å finne det observerte gjennomsnittet per kast.
6. Sammenlign forløpene. B skal ha nøyaktig ti ganger totalsummen til A etter hvert kast. Sluttresultatene kan bli null, men trenger ikke gjøre det.

Hold øvelsen til poeng eller lekesjetonger uten pengeverdi. For andre opplegg finner du flere veiledninger under spill og spilleregler. Vil dere bruke øvelsen som del av en kveld med flere spill, kan du planlegge oppsettet til en spillkveld hjemme.